|    | 
СИ-БИ техника | КВ техника | УКВ техника | Радиоизмерения | Защита от TVI | Источники питания | Софт | Расчеты | return_links(); ?>
Справочники
Главная arrow Проектирование arrow MathCAD arrow Оптимизация габаритов объемных тел 3.1.1. Гремим пожарными ведрами  

Оптимизация габаритов объемных тел 3.1.1. Гремим пожарными ведрами

Оглавление
Оптимизация габаритов объемных тел 3.1.1. Гремим пожарными ведрами
Страница 2
Страница 3
Страница 4
Страница 1 из 4

Из круглой жестянки по несложной технологии изготавливается пожарное ведро] (см. п. 1 на рис. 3.1): вырезается сектор, затем полученная выкройка сворачивается в конус (точка а подтягивается к точке с), а шов сваривается (паяется).

Рис. 3.1. Задача о пожарном ведре: схема решения

Требуется найти угол вырезки, при котором объем ведра будет максимальным.

И при решении данной задачи мы должны вывести зависимость объема ведра v от угла вырезки а. Далее можно взять первую производную от этой функции, приравнять ее к нулю и найти корень полученного уравнения. Не обойтись тут и без второй производной, если нужно убедиться, что найденное решение — максимум, а не минимум или точка перегиба, где, как помнит читатель из курса математического анализа, первая производная также равна нулю. Жестянщик, которому поручат сделать такое пожарное ведро, скорее всего, незнаком с математическим анализом, азы которого мы только что изложили. Но в среде Mathcad поставленная задача вполне окажется по плечу "компьютеризированному" жестянщику.

Рисунок заготовки ведра и самого ведра в п. 1 на рис. 3.1 сделан с помощью графического редактора Paint и перенесен в Mathcad-документ через буфер обмена (см. рис. 1.58).

В п. 2 на рис. 3.1 скопированы данные о геометрии конуса из стандартного справочника Mathcad, который удобен тем, что входит в состав пакета и всегда находится под рукой (см. рис. 1.4). Перенос данных из справочника в Mathcad-документ также автоматизирован, что исключает их искажение — переписывая формулу из книги, немудрено и ошибиться.

В п. 3 на рис. 3.1 записаны операторы символьных (аналитических) преобразований: оператором solve решается алгебраическое уравнение, а тандемом r(α,R):=…→ формируется функция пользователя с именем r (п. 3.1). Далее формируются две другие функции: h и v (п. 3.2). Зависимости выводятся из несложной геометрии круга и конуса: дуга abc выкройки (2πR - 2πRα/π) становится длиной окружности в основании конуса (2πr), a высота конуса h, радиус его основания r и радиус заготовки r — это стороны прямоугольного треугольника, длины которых связаны теоремой Пифагора.

Примечание

Решение задачи на компьютере — это только один из этапов общего процесса решения задачи. Другой немаловажный этап — это постановка задачи человеком, перекладывание словесного описания задачи на язык математики и компьютера.

Прежде чем искать максимум функции, необходимо убедиться, что он существует. Лучший же способ увидеть максимум — просмотреть график функции. В среде Mathcad, как уже отмечалось, есть семь видов графиков (см. разд. 1.6), первый из которых (X-Y Plot (Декартов график)) отображен на рис. 3.1. Здесь график построен по "двухшаговой" технологии: задается вид функции и сразу отдается команда на вставку графика в Mathcad-документ. По умолчанию аргумент графика меняется от -10 до 10. После построения наброска графика его нужно будет отформатировать— изменить разброс аргумента и другие установки по умолчанию.

На графике в районе угла, равного 1 радиан (60—70 угловых градусов), отчетливо виден максимум функции. Как его уточнить?

На рис. 3.2 показано аналитическое (символьное) решение данной задачи через поиск корней уравнения: первая производная функции v(α, r) равна нулю. Таких точек у функции v(α, R) оказалось три— два максимума (α1 и α2)^2 и один локальный минимум (α0). Задача решалась так. Сначала оператором ■ solve, ■→ выводились на дисплей корни уравнения v (a, R) =0, а после того, как стало ясно, что уравнение в среде Mathcad решается и корней три, то оператор ■ solve, ■ → встраивался в оператор ■ : = ■, в левый операнд которого вставлен вектор с тремя элементами по числу найденных корней. Элементы вектора хранят переменные α0, α1 и α2 (здесь не числовые, а текстовые индексы α0 → α0), третья из которых α2 — наш искомый ответ, который выводится на печать в угловых градусах и накладывается маркером на график функции v (α, R) при r=20 см. При аналитическом решении задачи в отличие от графического или численного (см. рис. 3.3) переменная r может оставаться пустой и не принимать никакого числового значения. На то оно и символьное решение. Это одно из преимуществ символьной математики — значение переменной r не влияет на решение и его можно не задавать. При численном же решении задачи (см. рис. 3.3, 3.4 и 3.7) всегда будет оставаться открытым вопрос, а не изменится ли решение, если изменить значение переменной r либо какой-нибудь другой константы. Беглый взгляд на задачу говорит о том, что нет, не изменится. Но в других задачах (см. рис. 3.12 и 3.13), как правило, такого однозначного ответа с "первого, беглого" взгляда не видно. Но если перейти от "одноведерной" к "двухведерной" задаче — задаче, когда из круглой заготовки вырезаются два ведра— к поиску корней производной функции v(α, R) + V(2π-α, r), to символьная математика Mathcad даст сбой. Нужно переходить к численным методам, которые, как правило, выдают один ответ из множества возможных и не с абсолютной, а с ограниченной точностью.

Самый старый способ численного поиска максимумов и минимумов в среде Mathcad, работавший еще в DOS-версиях,— это модификация блока


Пред. - След. »


CitRadio.com - Электроника и компьютеры

0.1426