|    | 
СИ-БИ техника | КВ техника | УКВ техника | Радиоизмерения | Защита от TVI | Источники питания | Софт | Расчеты | return_links(); ?>
Справочники
Главная arrow Проектирование arrow MathCAD arrow Решение дифференциальных уравнений  

Решение дифференциальных уравнений

Если при решении аналитических уравнений и систем (см. главу 2) мы искали значения (скалярные или векторные), превращающие уравнения в тождества (искали корни системы уравнений), то решение дифференциальных уравнений в общем случае сводится к поиску функций, подстановка которых и их производных разного порядка также превращает исходное уравнение или систему уравнений в тождества. В частном случае такое решение (численное решение) сводится к нахождению не самих функций, а их значений в определенной точке, либо таблицы значений искомой функции (искомых функций).

Здесь, также как и в главе 2, можно отметить некую тенденцию, которую одни считают "нехорошей", а другие-— прогрессивной или, по крайней мере, неизбежной—отход от аналитических методов решения задач с разбиением их на особые классы (линейные, нелинейные, алгебраические, степенные и т. д.) и повсеместный переход к численным методам с реализацией на компьютере.

Примечание

Здесь слово "аналитических" не тождественно слову "символьных", за которым стоят компьютерные инструменты аналитического решения задач — символьная математика Mathcad или Maple/MuPAD, в частности. Хотя эти инструменты применяются и для решения дифференциальных уравнений.

"Прогрессисты", если так можно выразиться, утверждают, что курс дифференциальных уравнений в технических вузах читается по учебникам

XVIII века. То есть учебники-то новые, а содержание в них старое, не менявшееся уже триста лет. Это в частности приводит к неоправданному утяжелению и усложнению многих технических дисциплин. Конкретный пример. Автор в студенческие годы слушал курс теории автоматического регулирования и ничего в нем толком не понимал, хотя интуитивно чувствовал, что курс очень "красивый" с точки зрения математики. Сначала автор объяснял такое свое недопонимание тем, что преподаватель якобы был не очень хорош. Но потом автор понял, что дело было в другом. Этот курс в таком виде, в каком его читали 30 лет назад и читают до сих пор, состоял на 20% из самого курса и 80% из материала, прямо не относящегося к курсу, а связанного с тем, как дифференциальные уравнения можно решить не в лоб, а через различного рода ухищрения — линеаризацию, прямое и обратное интегральные преобразования, частотно-амплитудные и прочие характеристики и т. д. Представьте себе, что на лекции по математике (а конкретнее — теории чисел) преподаватель станет дополнительно объяснять, как столбиком перемножают два числа, вольно или невольно умалчивая при этом, что есть такое достижение цивилизации, как калькулятор или компьютер. Подобными побочными отступлениями можно "убить" любую даже самую занимательную дисциплину и перекрыть доступ к ее "вычислительной части", когда можно на компьютере или без него "поиграть" исходными данными и получить новый ответ.

Этот феномен (преподавание математики и, в частности, дифференциального исчисления в технических вузах по учебникам XVIII века) автор совместно с А. П. Солодовым2 попытался раскрыть в книге "Mathcad. Дифференциальные модели"3 ("западный" вариант— "Differential Models. An Introduction with Mathcad". Springer. 2004 — см. www.thermal.ru).

Вспомним, как сейчас в вузах читается курс по дифференциальным уравнениям?! Преподавателем дается дифференциальное уравнение, а откуда оно взялось, как оно решается современными инструментами, как можно визуализировать полученные решения средствами двух- и трехмерной графики или анимацией — об этом часто опять же вольно или невольно умалчивается4. Все эти компьютерные новшества считаются своего рода математической "попсой", которой не место на "классических" лекциях по математике5. Да, выпускнику физмата МГУ достаточно мельком взглянуть на аналитическое решение дифференциального уравнения или просто на само уравнение, чтобы увидеть не только трехмерную, но и n-мерную (и > 3) графику решения или решение в неком движении (анимацию). Рядовой же инженер или студент может все это увидеть только на экране компьютера при соответствующей постановке задачи и то далеко не всегда — проблема "смотреть, но не увидеть".

У автора в школьные годы на уроках арифметики был устный счет, состоявший в том, что учитель давал задание ученику перемножить 84 на 95, например, а сам считал до десяти. Если ответа не было или он был неверный, то в журнал ставилась двойка. Считать же учили "не в лоб", а с применением различных "вычислительных ухищрений": "84 множим на 100 и отнимаем 840/2 и т. д.". При этом учитель подчеркивал такую мотивацию: "Пойдешь в магазин, а там тебя обсчитают и обвесят, если ты слаб в устном счете!". Теперь такая мотивация не работает— у каждого школьника есть калькулятор, которым, правда, часто запрещают пользоваться на уроках математики , да и в современном магазине с электронными весами он неуместен — сейчас там практикуют другие методы "обсчета и обвеса". Но эта мотивация была не главная. В те времена преподаватели даже в периферийных школах были сплошь с университетским образованием, и для них смысл устного счета состоял в том, что математика — это лучшая гимнастика для ума. Калькулятор же здесь может быть полезен примерно так же, как гидроусилитель у спортивного тренажера. Сейчас появились "суперкалькуляторы", умеющие не только складывать и умножать, но и брать производные, решать дифференциальные уравнения и т. д. И вновь встает вопрос о запрещении таких устройств на уроках уже не арифметики, а высшей математики, если опять же рассматривать этот предмет как гимнастику для ума, а не только как средство решения практических задач параллельных курсов (физика, химия, механика, термодинамика, сопротивление материалов и т. д.).

Вышеизложенное можно считать продолжением предисловия или вступлением к данной главе.

А теперь рассмотрим инструменты решения дифференциальных уравнений в среде Mathcad на нескольких довольно простых, но, автор надеется, занимательных примерах. Главное здесь — раскрыть особенности Mathcad для решения подобных задач.



CitRadio.com - Электроника и компьютеры

0.1413